首页 >> >> bd

最新1998考研数学三真题和详解

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1) 设曲线

f(x)x

n

在点

(1,1)

处的切线与

x

轴的交点为

(

n

,0)

,则

limf(

n

)

.

n

(2)

lnx1

x

2

dx

.

(3) 差分方程

2y

t1

10y

t

5t0

的通解为 .

100



*

*

(4) 设矩阵

A,B

满足

ABA2BA8E

,其中

A020

,

E

为单位矩阵,

A

A



001

的伴随矩阵,则

B

.

2

(5) 设

X

1

,X

2

,X

3

,X

4

是来自正态总体

N0,2

的简单随机样本,

Xa

X

1

2X

2



2

b

3X

3

4X

4

.则当

a

,

b

时,统计量

X

服从

2

分布,

其自由度为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合

题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设周期函数

f

x

,

内可导,周期为4.又

lim

x0

2

f

1

f

1x

1,

则曲线

2x

yf

x

在点

5,f

5

处的切线的斜率为 ( )

1

(B)

(C)

1

(D)

2

2

1x

,

讨论函数

f

x

的间断点,其结论为 ( ) (2) 设函数

f

x

lim

n

1x

2n

(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点

x1

(C) 存在间断点

x0

(D) 存在间断点

x1

(A)

x

1

x

2

2

x

3

0,

(3) 齐次线性方程组

x

1

x

2

x

3

0,

的系数矩阵记为

A

.若存在三阶矩阵

B0

使得

xx

x0

3

12

AB0

,则 ( )

(A)

2

|B|0

(B)

2

|B|0

(C)

1

|B|0

(D)

1

|B|0

(4) 设

n

n3

阶矩阵

1

a

A

a

a

a

1

a

a

a

a

1

a

a

a

a

,

1

11

(C)

1

(D)

1nn1

若矩阵

A

的秩为

n1

,则

a

必为 ( )

(A)

1

(B)

(5) 设

F

1

(x)

F

2

(x)

分别为随机变量

X

1

X

2

的分布函数.为使

F

x

aF

1

(x)bF

2

(x)

是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )

3222

,b

(B)

a,b

5533

1313

(C)

a,b

(D)

a,b

2222

(A)

a

三、(本题满分5分)

z(xy)e

22

arctan

y

x

2

z

,求

dz

与.

xy

四、(本题满分5分)

D

x,y

x

2

y

2

x

,求



xdxdy

.

D

五、(本题满分6分)

设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定

t0

)就售出,总收入为

R

(元)

.如果窖藏

起来待来日按陈酒价格出售,

t

年末总收入为

RR

e

2

t

5

.

假定银行的年利率为

r

,并以连续

复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求

r0.06

时的

t

值.

六、(本题满分6分)

设函数

f(x)

a,b

上连续,在

(a,b)

内可导,且

f

(x)0.

试证存在

,

(a,b),

使得

f

(

)e

b

e

a

e.

f

(

)ba

七、(本题满分6分)

设有两条抛物线

ynx

2

11

2

y(n1)x

,记它们交点的横坐标的绝对值为

nn1

a

n

.

(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积

S

n

(2) 求级数

S

n

的和.

n1

a

n

八、(本题满分7分)

设函数

f(x)

[1,)

上连续.若由曲线

yf(x),

直线

x1,xt(t1)

x

轴所围

成的平面图形绕

x

轴旋转一周所形成的旋转体体积为

V(t)

2

tf(t)f(1)

.



3

x2

试求

yf(x)

所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件

y

九、(本题满分9分)

设向量

(a

1

,a

2

,

2

的解.

9

,a

n

)

T

,

(b

1

,b

2

,,b

n

)

T

都是非零向量,且满足条件

T

0.

n

矩阵

A



T

.

求:

(1)

A

(2) 矩阵

A

的特征值和特征向量.

十、(本题满分7分)

2

101

2

设矩阵

A

020

,

矩阵

B(kEA),

其中

k

为实数,

E

为单位矩阵.求对角矩阵



101

,使

B

相似,并求

k

为何值时,

B

为正定矩阵.

十一、(本题满分10分)

一商店经销某种商品,每周进货的数量

X

与顾客对该种商品的需求量

Y

是相互独立的

随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元;若

需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算

此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

十二、(本题满分9分)

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.

(1) 求先抽到的一份是女生表的概率

p

(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率

q

.

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)【答案】

1

e

【解析】曲线

yx

n

在点

(1,1)

处的切线斜率

y

x1

x

n

式,切线方程为:



x1

nx

n1

x1

n

,根据点斜

y1n(x1).

11

,即在

x

轴上的截距为

n

1

,

nn

11

x1

1

limf(

n

)

lim

n

n

lim(1)

n

lim(1)



.

n

n

nx

nxe

lnx

C

(2)【答案】

x

y0

,代入

y1n(x1)

,则

x1

【解析】由分部积分公式,

lnx1

1

1

lnx1dx

dx

lnx1d









x

2

x



x

分部



lnx11lnx11

d(lnx1)

2

dx

xxxx

lnx1

1

lnx11lnx





dx

CC

.

xxx

x

x

【相关知识点】分部积分公式:假定

uu(x)

vv(x)

均具有连续的导函数,则

uv

dxuv

u

vdx,

或者

udvuv

vdu.

(3)【答案】

y

t

C(5)

t

51

(t)

126

5

t

,其齐次方程对应的特征方程及

2

【解析】首先把差分方程改写成标准形式

y

t1

5y

t

特征根分别为

r50,r5,

故齐次方程的通解为

Y

t

C(5)

t

,C

为常数.

将方程右边的

55

t

改写成

t1

t

,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为

2

2

y

t

AtB,

从而

y

t1

A(t1)B,

代入原方程,得

5

A(t1)B5(AtB)t,

2

5

6A,A6B0,

2

55

,B

. 故

A

1272

51

t

(t).

于是通解为

y

t

Y

t

y

t

C(5)

126

200

(4)【答案】

040



002

【解析】由题设

ABA2BA8E

,

由于

A20

,所以

A

可逆.上式两边左乘

A

,右乘

A

,得

1

*

AA

*

BAA

1

2ABAA

1

8AA

1

AB2AB8E

(利用公式:

AAAE,AAE

)

AB2AB8E

(移项)

*1

AE2A

B8E

(矩阵乘法的运算法则)

A2

代入上式,整理得

1

EA

BE

.

4

由矩阵可逆的定义,知

EA

,B

均可逆,且

200

1

B

1

4

EA

4

010



002

11

,,2

20100

1

1

2

4

200

.

040

10



002

1



2

(5)【答案】

【解析】由于

X

1

,X

2

,X

3

,X

4

相互独立,均服从

N(0,2)

,所以由数学期望和方差的性质,

2

我要分享:
热门推荐